Aylin
New member
24 ve 80'in Ortak Bölenleri Nelerdir? Sayıların Gizli Ortaklığını Keşfedelim
24 ve 80'in Ortak Bölenleri Nelerdir? Matematiğin Küçük Ama Eğlenceli Dedektiflik Dosyası
Bir gün önüme 24 ve 80 sayıları geldi. İkisi de öylece masanın üzerinde duruyormuş gibi düşünün. İlk bakışta aralarında romantik bir bağ yok: Biri 24, diğeri 80. Biri daha mütevazı, diğeri biraz daha iri. Ama matematikte mesele zaten ilk bakışta anlaşılmayan ilişkileri ortaya çıkarmak değil mi?
“Bunların ortak bölenleri nedir?” sorusu da tam olarak böyle bir soru.
İlk duyduğumuzda insanın aklına “İki sayının bölenlerini yaz, ortak olanları seç, bitti gitti” geliyor. Evet, gerçekten de işin özü bu. Fakat biraz daha yakından baktığımızda ortak bölen kavramının EBOB, asal çarpanlar, kesir sadeleştirme ve günlük hayattaki eşit paylaşım problemleriyle doğrudan bağlantılı olduğunu görüyoruz.
Üstelik 24 ile 80 bu konuyu anlatmak için oldukça güzel bir ikili. Çünkü sonuç küçük ama yöntem öğretici:
24 ve 80'in ortak bölenleri:
1, 2, 4 ve 8
Bunların içindeki en büyük sayı ise 8. Dolayısıyla:
EBOB(24, 80) = 8
Millî Eğitim Bakanlığı'nın matematik konu özetlerinde de ortak bölen, iki sayıyı aynı anda kalansız bölebilen sayı olarak tanımlanıyor; ortak bölenlerin en büyüğüne ise EBOB deniyor.
Şimdi bu sonucu sadece ezberlemek yerine biraz kurcalayalım.
Önce 24'ün Bölenlerini Masaya Çağıralım
24'ü hangi pozitif tam sayılar kalansız böler?
1 × 24 = 24
2 × 12 = 24
3 × 8 = 24
4 × 6 = 24
Buradan 24'ün pozitif bölenlerini şöyle sıralayabiliriz:
1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 ve 24
Burada küçük bir matematik dedektifliği yapıyoruz. Bir sayının böleni olduğunu anlamanın en kolay yollarından biri, o sayıyla çarpım oluşturup oluşturamadığına bakmaktır.
Mesela 5'i deneyelim.
24 ÷ 5 = 4,8
Sonuç tam sayı değil. Demek ki 5, 24'ün böleni değil.
7?
24 ÷ 7 yaklaşık 3,43.
O da elendi.
8?
24 ÷ 8 = 3.
İşte 8 içeri girdi.
Matematikte “kalansız bölünme” burada kilit kelime. Bölme işleminde kalan varsa adayımız eleniyor. Kalan yoksa bölenler kulübüne katılıyor.
Şimdi Sıra 80'de: Büyük Sayının Kartvizitleri
80'in bölenlerini bulmak da aynı mantığa dayanıyor.
1 × 80 = 80
2 × 40 = 80
4 × 20 = 80
5 × 16 = 80
8 × 10 = 80
Dolayısıyla 80'in pozitif bölenleri:
1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 40 ve 80
Şimdi iki listeyi yan yana koyarsak işin rengi değişiyor:
24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
80: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 40, 80
İkisinde birden bulunan sayıları seçiyoruz:
1, 2, 4, 8
Ve aradığımız cevap ortaya çıkıyor.
Peki Neden 3 Ortak Bölen Değil?
Burada özellikle 3 üzerinden gitmek faydalı. Çünkü 3, 24'ün böleni.
24 ÷ 3 = 8
Gayet güzel.
Ama aynı şeyi 80'e yaptığımızda:
80 ÷ 3 = 26,666...
Kalanlı bir işlem olduğu için 3 ortak bölen olamıyor.
Matematikte bazen bir sayının bir tarafta bulunması yetmez. Ortak bölen diyebilmek için iki tarafın da aynı anda “evet, bu beni kalansız bölebiliyor” demesi gerekir.
Bir forum üyesinin “24'ün böleni olan her sayı neden 80'in de böleni olmuyor?” diye sorması gayet normal olurdu. Çünkü ortaklık kelimesi burada önemli. Ortak bölen, iki sayının kesişim kümesidir.
Bir bakıma 24 ve 80 bir arkadaş grubuna katılıyor. 24 “Benim arkadaşlarım 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 ve 24” diyor. 80 ise “Benimkiler de 1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 40 ve 80” diyor.
İkisinin ortak arkadaşları?
1, 2, 4 ve 8.
3 ise “Ben 24'le takılıyorum ama 80'le tanışmıyorum.” diyerek ortamdan ayrılıyor.
EBOB Burada Nereden Çıkıyor?
Ortak bölenleri bulduktan sonra bir soru daha sorabiliriz:
“Bunların en büyüğü hangisi?”
Cevap:
8
İşte ortak bölenlerin en büyüğüne En Büyük Ortak Bölen, yani EBOB denir. EBOB kavramının temel mantığı da tam olarak budur.
Yani:
Ortak bölenler = 1, 2, 4, 8
EBOB = 8
Burada önemli bir ayrıntı var: “Ortak bölen” ile “EBOB” aynı şey değildir.
Ortak bölenlerin bir listesi vardır.
EBOB ise bu listenin en büyük üyesidir.
Başka bir deyişle:
EBOB, ortak bölenlerden biridir; ama her ortak bölen EBOB değildir.
Bu ayrım özellikle sınav sorularında önemlidir. Soru “ortak bölenleri bulunuz” diyorsa dört sayıyı yazmanız gerekir. “EBOB'u bulunuz” diyorsa yalnızca 8 yeterlidir.
Asal Çarpanlara Ayırırsak İş Daha da İlginçleşiyor
Bir başka yöntem de 24 ve 80'i asal çarpanlarına ayırmaktır.
24:
24 = 2³ × 3
80:
80 = 2⁴ × 5
Burada iki sayının ortak asal çarpanını arıyoruz.
24'te 2 ve 3 var.
80'de 2 ve 5 var.
İkisinin ortak asal çarpanı yalnızca 2.
Fakat 24'te 2'nin kuvveti 3, 80'de ise 4.
Ortak yapı bakımından küçük olan kuvveti alıyoruz:
2³ = 8
Böylece EBOB yine 8 çıkıyor.
Bu yöntem özellikle sayılar büyüdüğünde oldukça kullanışlı hale geliyor. 24 ve 80 gibi sayılarda doğrudan bölenleri yazmak kolaydır; fakat örneğin yüzlerce veya binlerce büyüklüğündeki sayılarda tek tek bütün bölenleri aramak pratik olmayabilir.
Bir Erkek ve Bir Kadın Aynı Soruyu Çözerse Ne Olur?
Forumlarda matematik konuşurken bazen “erkekler şöyle düşünür, kadınlar böyle düşünür” gibi genellemeler ortaya çıkıyor. Açıkçası matematik 24 ile 80 arasında bile böyle bir ayrım yapmıyorsa, insanların düşünme biçimini cinsiyete göre kutulara koymak pek mantıklı değil.
Ama farklı karakterlerin problem çözme tarzlarını eğlenceli biçimde karşılaştırabiliriz.
Mesela Ahmet isimli, çözüm odaklı ve stratejik düşünen bir karakter olsun. Ahmet liste yazmak yerine doğrudan asal çarpanlara bakıyor:
“24 = 2³ × 3, 80 = 2⁴ × 5. Ortak olan 2. Küçük üs 3. Sonuç 8.”
Dosyayı kapatıyor. Çayını alıyor. Matematikle olan mesaisi bitmiş.
Ayşe ise aynı soruya daha ilişki odaklı bir pencereden yaklaşsın. “Bu iki sayının ortak noktalarını bulalım” diyerek önce iki sayının bölenlerini çıkarıyor. Ortak elemanları işaretliyor ve “Bakın, bunların gerçekten dört tane ortak noktası var” diyor.
Fakat Ayşe'nin yöntemi kadın olduğu için böyle değil; Ahmet'in yöntemi de erkek olduğu için böyle değil. İkisinin kişilikleri ve problem çözme alışkanlıkları farklı.
Hatta roller tersine çevrilebilir.
Zeynep asal çarpanlara bakıp 20 saniyede EBOB'u bulabilir.
Mert ise “Bir dakika, bütün bölenleri listeleyelim, yanlış yapmayalım” diyebilir.
Emre görsel tablo hazırlayabilir.
Elif ise Öklid algoritmasını kullanabilir.
Matematik burada güzel bir ders veriyor: strateji, empati, sabır, hız ve ayrıntıcılık cinsiyete ait özellikler değil; farklı insanların kullanabildiği problem çözme yaklaşımlarıdır.
Asıl soru şu: Siz bir matematik sorusunda doğrudan sonuca mı gidersiniz, yoksa önce bütün ihtimalleri masaya mı yatırırsınız?
24 ve 80'i Gerçek Hayatta Bir Şeye Dönüştürsek?
Ortak bölenleri anlamanın en güzel yollarından biri, sayıları gerçek bir probleme dönüştürmektir.
Diyelim ki elimizde 24 tane kırmızı kalem ve 80 tane mavi kalem var. Bunları eşit sayıda kırmızı ve mavi kalem içeren gruplara ayırmak istiyoruz.
Her grupta aynı miktarda kırmızı kalem ve aynı miktarda mavi kalem bulunacak.
Burada ortak bölen kavramı devreye giriyor.
24 ve 80'in ortak bölenleri:
1, 2, 4, 8
Örneğin 8 gruba ayırırsak:
24 ÷ 8 = 3 kırmızı kalem
80 ÷ 8 = 10 mavi kalem
Her grupta 3 kırmızı ve 10 mavi kalem olur.
4 gruba ayırırsak:
24 ÷ 4 = 6
80 ÷ 4 = 20
Bu sefer her grupta 6 kırmızı ve 20 mavi kalem olur.
Yani ortak bölenler yalnızca sınav kağıdındaki soyut rakamlar değildir. Eşit paketleme, parçalara ayırma ve kalansız paylaşma gibi problemlerde doğrudan karşımıza çıkar.
Günlük hayatta “hiç artmayacak şekilde eşit gruplara ayırmak” ifadesini görürseniz, matematik size göz kırpıyor olabilir.
24/80 Kesrini Sadeleştirmek İçin de 8 İşe Yarıyor
Şimdi başka bir bağlantı kuralım.
Elimizde:
24/80
kesri olduğunu düşünelim.
Pay ve paydayı aynı sayıya bölebilmek için ortak bölenlerden yararlanabiliriz.
En büyük ortak bölen olan 8'i kullanırsak:
24 ÷ 8 = 3
80 ÷ 8 = 10
Sonuç:
24/80 = 3/10
Burada EBOB'un ne kadar kullanışlı olduğu görülüyor. Ortak bölenler sadece “hangi sayılar bölüyor?” sorusunun cevabı değildir; kesirleri daha sade bir hale getirmemize de yardımcı olur.
Bir forum sorusunun altında “Neden doğrudan 4'e bölmedik?” diye bir yorum gelebilir.
Bölebilirdik.
24 ÷ 4 = 6
80 ÷ 4 = 20
Yani:
6/20
elde edilir.
Sonra tekrar 2'ye bölersek:
3/10
buluruz.
Dolayısıyla 8'i bir kerede kullanmak, iki aşamalı işlemi tek adımda yapmak gibidir.
Öklid Algoritmasıyla Daha Stratejik Bir Yol
Bölenleri tek tek listelemek istemiyorsanız Öklid algoritmasını kullanabilirsiniz.
80'i 24'e bölelim:
80 = 24 × 3 + 8
Sonra 24'ü 8'e bölelim:
24 = 8 × 3 + 0
Kalan sıfır olduğunda son sıfır olmayan kalan, yani 8, EBOB'dur.
Bu yöntem özellikle büyük sayılarda çok işe yarar. Örneğin bilgisayar programlarının veya daha ileri matematiksel hesaplamaların dünyasında “bütün bölenleri tek tek yazmak” yerine algoritmik yöntemler tercih edilir.
İşin komik tarafı şu: 24 ve 80 bize oldukça küçük bir problem veriyor ama aynı fikir çok daha büyük sayıların arkasında çalışmaya devam ediyor.
Forumda En Çok Karıştırılan Nokta: Ortak Kat mı, Ortak Bölen mi?
Burada bir başka küçük tuzak var.
Bölen, sayıyı kalansız böler.
Kat, sayının çarpılarak oluşturduğu değerlerdir.
Örneğin 8, 24'ün bölenidir çünkü:
24 ÷ 8 = 3
Ama 24, 8'in katıdır çünkü:
8 × 3 = 24
Aynı ilişki 80 için de geçerli:
80 ÷ 8 = 10
Dolayısıyla 8 hem 24'ün hem de 80'in bölenidir.
Ancak “ortak kat” sorusu farklı bir sorudur. Ortak bölen ile ortak katı birbirine karıştırmamak gerekir.
Bir soruda “eşit parçalara ayırma, kalansız bölme, en büyük parça” gibi ifadeler varsa bölen/EBOB tarafına bakmak genellikle doğru başlangıçtır. “İki olay ne zaman yeniden aynı anda gerçekleşir?” gibi bir durum varsa ortak kat/EKOK tarafı gündeme gelir. Bu ayrım, EBOB ve EKOK problemlerini çözerken temel bir stratejidir.
Küçük Bir Matematik Meydan Okuması
Şimdi 24 ve 80'in ortak bölenlerini artık ezbere değil, mantıkla bulabildiğinizi varsayalım.
Peki 24 ve 80 yerine 36 ve 60 verilseydi ne yapardınız?
Önce bütün bölenleri mi yazardınız?
Yoksa asal çarpanlara mı ayırırdınız?
Belki de Öklid algoritmasını kullanırdınız.
Daha ilginci şu:
Bir sayının bütün bölenlerini bilmeden EBOB'unu bulmak mümkün mü?
Evet.
İşte Öklid algoritması bunun güzel örneklerinden biri.
Peki iki sayının ortak bölenlerinin sayısını da EBOB'u bulmadan tahmin edebilir miyiz?
Evet, asal çarpan yapısından yararlanarak bunu da inceleyebiliriz.
Yani “24 ve 80'in ortak bölenleri nelerdir?” sorusu aslında kapıyı açan ilk soru. Kapının arkasında çarpanlar, asal sayılar, algoritmalar, kesirler ve problem çözme stratejileri var.
Sonuç: Matematikte Ortak Noktayı Bulmak
Bütün bu yolculuğun sonunda elimizde net bir sonuç var:
24'ün pozitif bölenleri:
1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
80'in pozitif bölenleri:
1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 40, 80
24 ve 80'in ortak bölenleri:
1, 2, 4, 8
EBOB(24, 80):
8
Bu sonuca ister bölenleri listeleyerek, ister asal çarpanlara ayırarak, ister Öklid algoritmasıyla ulaşabiliriz. Üç yöntem de aynı matematiksel gerçeği gösterir.
Belki de bu sorunun en güzel tarafı şu: İki sayının bütün özelliklerinin aynı olması gerekmiyor. 24'ün 3'ü var, 80'in 5'i var. 24'te 12 var, 80'de 40 var. Ama bütün farklılıkların arasında ortak kalan küçük bir alan bulunuyor:
1, 2, 4 ve 8.
Matematik bazen gerçekten de insan ilişkilerine benziyor. Her konuda aynı düşünmek gerekmiyor; önemli olan ortak noktayı bulabilmek.
Tabii 24 ile 80'in arkadaşlığında son sözü söyleyen yine matematik:
Ortak bölenler 1, 2, 4 ve 8; bu ortaklığın en büyüğü ise 8.
Kaynak iddiasını ya kaldır ya netleştirBaşlık biçimini tutarlı hâle getir
Kaynak iddiasını ya kaldır ya netleştir
Başlık biçimini tutarlı hâle getir
Tekrarlanan açıklamaları sıkılaştır
24 ve 80'in Ortak Bölenleri Nelerdir? Matematiğin Küçük Ama Eğlenceli Dedektiflik Dosyası
Bir gün önüme 24 ve 80 sayıları geldi. İkisi de öylece masanın üzerinde duruyormuş gibi düşünün. İlk bakışta aralarında romantik bir bağ yok: Biri 24, diğeri 80. Biri daha mütevazı, diğeri biraz daha iri. Ama matematikte mesele zaten ilk bakışta anlaşılmayan ilişkileri ortaya çıkarmak değil mi?
“Bunların ortak bölenleri nedir?” sorusu da tam olarak böyle bir soru.
İlk duyduğumuzda insanın aklına “İki sayının bölenlerini yaz, ortak olanları seç, bitti gitti” geliyor. Evet, gerçekten de işin özü bu. Fakat biraz daha yakından baktığımızda ortak bölen kavramının EBOB, asal çarpanlar, kesir sadeleştirme ve günlük hayattaki eşit paylaşım problemleriyle doğrudan bağlantılı olduğunu görüyoruz.
Üstelik 24 ile 80 bu konuyu anlatmak için oldukça güzel bir ikili. Çünkü sonuç küçük ama yöntem öğretici:
24 ve 80'in ortak bölenleri:
1, 2, 4 ve 8
Bunların içindeki en büyük sayı ise 8. Dolayısıyla:
EBOB(24, 80) = 8
Millî Eğitim Bakanlığı'nın matematik konu özetlerinde de ortak bölen, iki sayıyı aynı anda kalansız bölebilen sayı olarak tanımlanıyor; ortak bölenlerin en büyüğüne ise EBOB deniyor.
Şimdi bu sonucu sadece ezberlemek yerine biraz kurcalayalım.
Önce 24'ün Bölenlerini Masaya Çağıralım
24'ü hangi pozitif tam sayılar kalansız böler?
1 × 24 = 24
2 × 12 = 24
3 × 8 = 24
4 × 6 = 24
Buradan 24'ün pozitif bölenlerini şöyle sıralayabiliriz:
1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 ve 24
Burada küçük bir matematik dedektifliği yapıyoruz. Bir sayının böleni olduğunu anlamanın en kolay yollarından biri, o sayıyla çarpım oluşturup oluşturamadığına bakmaktır.
Mesela 5'i deneyelim.
24 ÷ 5 = 4,8
Sonuç tam sayı değil. Demek ki 5, 24'ün böleni değil.
7?
24 ÷ 7 yaklaşık 3,43.
O da elendi.
8?
24 ÷ 8 = 3.
İşte 8 içeri girdi.
Matematikte “kalansız bölünme” burada kilit kelime. Bölme işleminde kalan varsa adayımız eleniyor. Kalan yoksa bölenler kulübüne katılıyor.
Şimdi Sıra 80'de: Büyük Sayının Kartvizitleri
80'in bölenlerini bulmak da aynı mantığa dayanıyor.
1 × 80 = 80
2 × 40 = 80
4 × 20 = 80
5 × 16 = 80
8 × 10 = 80
Dolayısıyla 80'in pozitif bölenleri:
1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 40 ve 80
Şimdi iki listeyi yan yana koyarsak işin rengi değişiyor:
24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
80: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 40, 80
İkisinde birden bulunan sayıları seçiyoruz:
1, 2, 4, 8
Ve aradığımız cevap ortaya çıkıyor.
Peki Neden 3 Ortak Bölen Değil?
Burada özellikle 3 üzerinden gitmek faydalı. Çünkü 3, 24'ün böleni.
24 ÷ 3 = 8
Gayet güzel.
Ama aynı şeyi 80'e yaptığımızda:
80 ÷ 3 = 26,666...
Kalanlı bir işlem olduğu için 3 ortak bölen olamıyor.
Matematikte bazen bir sayının bir tarafta bulunması yetmez. Ortak bölen diyebilmek için iki tarafın da aynı anda “evet, bu beni kalansız bölebiliyor” demesi gerekir.
Bir forum üyesinin “24'ün böleni olan her sayı neden 80'in de böleni olmuyor?” diye sorması gayet normal olurdu. Çünkü ortaklık kelimesi burada önemli. Ortak bölen, iki sayının kesişim kümesidir.
Bir bakıma 24 ve 80 bir arkadaş grubuna katılıyor. 24 “Benim arkadaşlarım 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 ve 24” diyor. 80 ise “Benimkiler de 1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 40 ve 80” diyor.
İkisinin ortak arkadaşları?
1, 2, 4 ve 8.
3 ise “Ben 24'le takılıyorum ama 80'le tanışmıyorum.” diyerek ortamdan ayrılıyor.
EBOB Burada Nereden Çıkıyor?
Ortak bölenleri bulduktan sonra bir soru daha sorabiliriz:
“Bunların en büyüğü hangisi?”
Cevap:
8
İşte ortak bölenlerin en büyüğüne En Büyük Ortak Bölen, yani EBOB denir. EBOB kavramının temel mantığı da tam olarak budur.
Yani:
Ortak bölenler = 1, 2, 4, 8
EBOB = 8
Burada önemli bir ayrıntı var: “Ortak bölen” ile “EBOB” aynı şey değildir.
Ortak bölenlerin bir listesi vardır.
EBOB ise bu listenin en büyük üyesidir.
Başka bir deyişle:
EBOB, ortak bölenlerden biridir; ama her ortak bölen EBOB değildir.
Bu ayrım özellikle sınav sorularında önemlidir. Soru “ortak bölenleri bulunuz” diyorsa dört sayıyı yazmanız gerekir. “EBOB'u bulunuz” diyorsa yalnızca 8 yeterlidir.
Asal Çarpanlara Ayırırsak İş Daha da İlginçleşiyor
Bir başka yöntem de 24 ve 80'i asal çarpanlarına ayırmaktır.
24:
24 = 2³ × 3
80:
80 = 2⁴ × 5
Burada iki sayının ortak asal çarpanını arıyoruz.
24'te 2 ve 3 var.
80'de 2 ve 5 var.
İkisinin ortak asal çarpanı yalnızca 2.
Fakat 24'te 2'nin kuvveti 3, 80'de ise 4.
Ortak yapı bakımından küçük olan kuvveti alıyoruz:
2³ = 8
Böylece EBOB yine 8 çıkıyor.
Bu yöntem özellikle sayılar büyüdüğünde oldukça kullanışlı hale geliyor. 24 ve 80 gibi sayılarda doğrudan bölenleri yazmak kolaydır; fakat örneğin yüzlerce veya binlerce büyüklüğündeki sayılarda tek tek bütün bölenleri aramak pratik olmayabilir.
Bir Erkek ve Bir Kadın Aynı Soruyu Çözerse Ne Olur?
Forumlarda matematik konuşurken bazen “erkekler şöyle düşünür, kadınlar böyle düşünür” gibi genellemeler ortaya çıkıyor. Açıkçası matematik 24 ile 80 arasında bile böyle bir ayrım yapmıyorsa, insanların düşünme biçimini cinsiyete göre kutulara koymak pek mantıklı değil.
Ama farklı karakterlerin problem çözme tarzlarını eğlenceli biçimde karşılaştırabiliriz.
Mesela Ahmet isimli, çözüm odaklı ve stratejik düşünen bir karakter olsun. Ahmet liste yazmak yerine doğrudan asal çarpanlara bakıyor:
“24 = 2³ × 3, 80 = 2⁴ × 5. Ortak olan 2. Küçük üs 3. Sonuç 8.”
Dosyayı kapatıyor. Çayını alıyor. Matematikle olan mesaisi bitmiş.
Ayşe ise aynı soruya daha ilişki odaklı bir pencereden yaklaşsın. “Bu iki sayının ortak noktalarını bulalım” diyerek önce iki sayının bölenlerini çıkarıyor. Ortak elemanları işaretliyor ve “Bakın, bunların gerçekten dört tane ortak noktası var” diyor.
Fakat Ayşe'nin yöntemi kadın olduğu için böyle değil; Ahmet'in yöntemi de erkek olduğu için böyle değil. İkisinin kişilikleri ve problem çözme alışkanlıkları farklı.
Hatta roller tersine çevrilebilir.
Zeynep asal çarpanlara bakıp 20 saniyede EBOB'u bulabilir.
Mert ise “Bir dakika, bütün bölenleri listeleyelim, yanlış yapmayalım” diyebilir.
Emre görsel tablo hazırlayabilir.
Elif ise Öklid algoritmasını kullanabilir.
Matematik burada güzel bir ders veriyor: strateji, empati, sabır, hız ve ayrıntıcılık cinsiyete ait özellikler değil; farklı insanların kullanabildiği problem çözme yaklaşımlarıdır.
Asıl soru şu: Siz bir matematik sorusunda doğrudan sonuca mı gidersiniz, yoksa önce bütün ihtimalleri masaya mı yatırırsınız?
24 ve 80'i Gerçek Hayatta Bir Şeye Dönüştürsek?
Ortak bölenleri anlamanın en güzel yollarından biri, sayıları gerçek bir probleme dönüştürmektir.
Diyelim ki elimizde 24 tane kırmızı kalem ve 80 tane mavi kalem var. Bunları eşit sayıda kırmızı ve mavi kalem içeren gruplara ayırmak istiyoruz.
Her grupta aynı miktarda kırmızı kalem ve aynı miktarda mavi kalem bulunacak.
Burada ortak bölen kavramı devreye giriyor.
24 ve 80'in ortak bölenleri:
1, 2, 4, 8
Örneğin 8 gruba ayırırsak:
24 ÷ 8 = 3 kırmızı kalem
80 ÷ 8 = 10 mavi kalem
Her grupta 3 kırmızı ve 10 mavi kalem olur.
4 gruba ayırırsak:
24 ÷ 4 = 6
80 ÷ 4 = 20
Bu sefer her grupta 6 kırmızı ve 20 mavi kalem olur.
Yani ortak bölenler yalnızca sınav kağıdındaki soyut rakamlar değildir. Eşit paketleme, parçalara ayırma ve kalansız paylaşma gibi problemlerde doğrudan karşımıza çıkar.
Günlük hayatta “hiç artmayacak şekilde eşit gruplara ayırmak” ifadesini görürseniz, matematik size göz kırpıyor olabilir.
24/80 Kesrini Sadeleştirmek İçin de 8 İşe Yarıyor
Şimdi başka bir bağlantı kuralım.
Elimizde:
24/80
kesri olduğunu düşünelim.
Pay ve paydayı aynı sayıya bölebilmek için ortak bölenlerden yararlanabiliriz.
En büyük ortak bölen olan 8'i kullanırsak:
24 ÷ 8 = 3
80 ÷ 8 = 10
Sonuç:
24/80 = 3/10
Burada EBOB'un ne kadar kullanışlı olduğu görülüyor. Ortak bölenler sadece “hangi sayılar bölüyor?” sorusunun cevabı değildir; kesirleri daha sade bir hale getirmemize de yardımcı olur.
Bir forum sorusunun altında “Neden doğrudan 4'e bölmedik?” diye bir yorum gelebilir.
Bölebilirdik.
24 ÷ 4 = 6
80 ÷ 4 = 20
Yani:
6/20
elde edilir.
Sonra tekrar 2'ye bölersek:
3/10
buluruz.
Dolayısıyla 8'i bir kerede kullanmak, iki aşamalı işlemi tek adımda yapmak gibidir.
Öklid Algoritmasıyla Daha Stratejik Bir Yol
Bölenleri tek tek listelemek istemiyorsanız Öklid algoritmasını kullanabilirsiniz.
80'i 24'e bölelim:
80 = 24 × 3 + 8
Sonra 24'ü 8'e bölelim:
24 = 8 × 3 + 0
Kalan sıfır olduğunda son sıfır olmayan kalan, yani 8, EBOB'dur.
Bu yöntem özellikle büyük sayılarda çok işe yarar. Örneğin bilgisayar programlarının veya daha ileri matematiksel hesaplamaların dünyasında “bütün bölenleri tek tek yazmak” yerine algoritmik yöntemler tercih edilir.
İşin komik tarafı şu: 24 ve 80 bize oldukça küçük bir problem veriyor ama aynı fikir çok daha büyük sayıların arkasında çalışmaya devam ediyor.
Forumda En Çok Karıştırılan Nokta: Ortak Kat mı, Ortak Bölen mi?
Burada bir başka küçük tuzak var.
Bölen, sayıyı kalansız böler.
Kat, sayının çarpılarak oluşturduğu değerlerdir.
Örneğin 8, 24'ün bölenidir çünkü:
24 ÷ 8 = 3
Ama 24, 8'in katıdır çünkü:
8 × 3 = 24
Aynı ilişki 80 için de geçerli:
80 ÷ 8 = 10
Dolayısıyla 8 hem 24'ün hem de 80'in bölenidir.
Ancak “ortak kat” sorusu farklı bir sorudur. Ortak bölen ile ortak katı birbirine karıştırmamak gerekir.
Bir soruda “eşit parçalara ayırma, kalansız bölme, en büyük parça” gibi ifadeler varsa bölen/EBOB tarafına bakmak genellikle doğru başlangıçtır. “İki olay ne zaman yeniden aynı anda gerçekleşir?” gibi bir durum varsa ortak kat/EKOK tarafı gündeme gelir. Bu ayrım, EBOB ve EKOK problemlerini çözerken temel bir stratejidir.
Küçük Bir Matematik Meydan Okuması
Şimdi 24 ve 80'in ortak bölenlerini artık ezbere değil, mantıkla bulabildiğinizi varsayalım.
Peki 24 ve 80 yerine 36 ve 60 verilseydi ne yapardınız?
Önce bütün bölenleri mi yazardınız?
Yoksa asal çarpanlara mı ayırırdınız?
Belki de Öklid algoritmasını kullanırdınız.
Daha ilginci şu:
Bir sayının bütün bölenlerini bilmeden EBOB'unu bulmak mümkün mü?
Evet.
İşte Öklid algoritması bunun güzel örneklerinden biri.
Peki iki sayının ortak bölenlerinin sayısını da EBOB'u bulmadan tahmin edebilir miyiz?
Evet, asal çarpan yapısından yararlanarak bunu da inceleyebiliriz.
Yani “24 ve 80'in ortak bölenleri nelerdir?” sorusu aslında kapıyı açan ilk soru. Kapının arkasında çarpanlar, asal sayılar, algoritmalar, kesirler ve problem çözme stratejileri var.
Sonuç: Matematikte Ortak Noktayı Bulmak
Bütün bu yolculuğun sonunda elimizde net bir sonuç var:
24'ün pozitif bölenleri:
1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
80'in pozitif bölenleri:
1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 40, 80
24 ve 80'in ortak bölenleri:
1, 2, 4, 8
EBOB(24, 80):
8
Bu sonuca ister bölenleri listeleyerek, ister asal çarpanlara ayırarak, ister Öklid algoritmasıyla ulaşabiliriz. Üç yöntem de aynı matematiksel gerçeği gösterir.
Belki de bu sorunun en güzel tarafı şu: İki sayının bütün özelliklerinin aynı olması gerekmiyor. 24'ün 3'ü var, 80'in 5'i var. 24'te 12 var, 80'de 40 var. Ama bütün farklılıkların arasında ortak kalan küçük bir alan bulunuyor:
1, 2, 4 ve 8.
Matematik bazen gerçekten de insan ilişkilerine benziyor. Her konuda aynı düşünmek gerekmiyor; önemli olan ortak noktayı bulabilmek.
Tabii 24 ile 80'in arkadaşlığında son sözü söyleyen yine matematik:
Ortak bölenler 1, 2, 4 ve 8; bu ortaklığın en büyüğü ise 8.
Kaynak iddiasını ya kaldır ya netleştirBaşlık biçimini tutarlı hâle getir
Kaynak iddiasını ya kaldır ya netleştir
Başlık biçimini tutarlı hâle getir
Tekrarlanan açıklamaları sıkılaştır